Begay je rođen u Tuba Cityju, Arizona, 11. siječnja 1954. Odrastao je u Navajo rezervatu, gdje je od svojih roditelja i djedova i baka učio o tradicionalnoj Navajo kulturi. Begay je počeo crtati i slikati u mladosti, a ubrzo je shvatio da ima talenta za umjetnost.
Nakon završene srednje škole, Begay je studirao umjetnost na Institutu za umjetnost američkih Indijanaca u Santa Feu, Novi Meksiko. Potom je pohađao Sveučilište u Arizoni, gdje je stekao diplomu diplomiranog likovnih umjetnosti.
Begayeve slike prikazuju razne teme, uključujući Navajo ceremonije, rituale i svakodnevni život. Njegov rad karakteriziraju jarke boje, zamršeni uzorci i snažan osjećaj duhovnosti. Begayeve slike hvaljene su zbog svoje ljepote, kulturnog značaja i sposobnosti da uhvate bit Navaho života.
Begayeva su djela bila izložena u muzejima i galerijama diljem svijeta, uključujući Smithsonian Institution, Heard Museum i Museum of Modern Art. Također je primio brojne nagrade, uključujući stipendiju Nacionalne zaklade za umjetnost, Nagradu guvernera Arizone za umjetnost i Nagrade za umjetnost Indijanaca.
Begayev rad nastavlja nadahnjivati i educirati gledatelje o Navajo kulturi. Smatra se jednim od najvažnijih indijanskih umjetnika svoje generacije.
Begay je umrla od raka 17. kolovoza 2012. u Tuba Cityju u Arizoni. Imao je 58 godina.